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初中圆的计算教案

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让学生自己画圆,自己给圆下定义,进行交流,归纳、概括,调动学生积极主动的参与教学活动;对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究,给圆下定义。一起看看初中圆的计算教案!欢迎查阅!

初中圆的计算教案1

教学目标 :

1、理解圆的描述性定义,了解用集合的观点对圆的定义;

2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件;

3、培养学生通过动手实践发现问题的能力;

4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.

教学重点:点和圆的关系

教学难点 :以点的集合定义圆所具备的两个条件

教学方法:自主探讨式

教学过程 设计(总框架):

一、 创设情境,开展学习活动

1、让学生画圆、描述、交流,得出圆的第一定义:

定义1:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.记作⊙O,读作“圆O”.

2、让学生观察、思考、交流,并在老师的指导下,得出圆的第二定义.

从旧知识中发现新问题

观察:

共性:这些点到O点的距离相等

想一想:在平面内还有到O点的距离相等的点吗?它们构成什么图形?

(1) 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r);

(2) 到定点距离等于定长的点都在圆上.

定义2:圆是到定点距离等于定长的点的集合.

3、点和圆的位置关系

问题三:点和圆的位置关系怎样?(学生自主完成得出结论)

如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:

点在圆上d=r;

点在圆内d

点在圆外d>r.

“数”“形”

二、 例题分析,变式练习

练习: 已知⊙O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A在⊙O________;当OP=10cm时,点A在⊙O________;当OP=18cm时,点A在⊙O___________.

例1 求证:矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

已知(略)

求证(略)

分析:四边形ABCD是矩形

A=OC,OB=OD;AC=BD

OA=OC=OB=OD

要证A、B、C、D 4个点在以O为圆心的圆上

证明:∵ 四边形ABCD是矩形

∴ OA=OC,OB=OD;AC=BD

∴ OA=OC=OB=OD

∴ A、B、C、D 4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上.

符号“”的应用(要求学生了解)

证明:四边形ABCD是矩形

OA=OC=OB=OD

A、B、C、D 4个点在以O为圆心,OA为半径的圆上.

小结:要证几个点在同一个圆上,可以证明这几个点与一个定点的距离相等.

问题拓展研究:我们所研究过的基本图形中(平行四边形,菱形,,正方形,等腰梯形)哪些图形的顶点在同一个圆上.(让学生探讨)

练习1 求证:菱形各边的中点在同一个圆上.

(目的:培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成)

练习2 设AB=3cm,画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.

(1)和点A的距离等于2cm的点的集合;

(2)和点B的距离等于2cm的点的集合;

(3)和点A,B的距离都等于2cm的点的集合;

(4)和点A,B的距离都小于2cm的点的集合;(A层自主完成)

三、 课堂小结

问:这节课学习的主要内容是什么?在学习时应注意哪些问题?在学生回答的基础上,强调:

(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系;

(2)在用点的集合定义圆时,必须注意应具备两个条件,二者缺一不可;

(3)注重对数学能力的培养

四、作业 82页2、3、4.

初中圆的计算教案2

教学目标

1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念;初步会运用这些概念判断真假命题。

2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践,总结出新概念的能力;进一步指导学

生观察、比较、分析、概括知识的能力。

3、通过动手、动脑的全过程,调动学生主动学习的积极性,使学生从积极主动获得知识。

教学重点、难点和疑点

1、重点:理解圆的有关概念.

2、难点:对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解.

3、疑点:学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。

教学过程 设计:

(一)阅读、理解

重点概念:

1、弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.

2、直径:经过圆心的弦是直径.

3、圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧.

半圆弧:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆;

优弧:大于半圆的弧叫优弧;

劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.

4、弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

5、同心圆:即圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆.

6、等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.

7、等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

(二)小组交流、师生对话

问题:

1、一个圆有多少条弦?最长的弦是什么?

2、弧分为哪几种?怎样表示?

3、弓形与弦有什么区别?在一个圆中一条弦能得到几个弓形?

4、在等圆、等弧中,“互相重合”是什么含义?

(通过问题,使学生与学生,学生与老师进行交流、学习,加深对概念的理解,排除疑难)

(三)概念辨析:

判断题目:

(1)直径是弦( ) (2)弦是直径( )

(3)半圆是弧( ) (4)弧是半圆( )

(5)长度相等的两段弧是等弧( ) (6)等弧的长度相等( )

(7)两个劣弧之和等于半圆() (8)半径相等的两个半圆是等弧()

(主要理解以下概念:(1)弦与直径;(2)弧与半圆;(3)同心圆、等圆指两个图形;(4)等圆、等弧是互相重合得到,等弧的条件作用.)

(四)应用、练习

例1、已知:如图,AB、CB为⊙O的两条弦,试写出图中的所有弧.

解:一共有6条弧. 、 、 、 、 、 .

(目的:让学生会表示弧,并加深理解优弧和劣弧的概念)

例2、已知:如图,在⊙O中,AB、CD为直径.求证:AD∥BC.

(由学生分析,学生写出证明过程,学生纠正存在问题.锻炼学生动口、动脑、动手实践能力,调动学生主动学习的积极性,使学生从积极主动获得知识.)

巩固练习:

教材P66练习中2题(学生自己完成).

(五)小结

教师引导学生自己做出总结:

1、本节所学似的知识点;

2、概念理解:①弦与直径;②弧与半圆;③同心圆、等圆指两个图形;④等圆和等弧.

3、弧的表示方法.

(六)作业

教材P66练习中3题,P82习题l(3)、(4).

初中圆的计算教案3

教学目标

1、在了解用集合的观点定义圆的基础上,进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹;

2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡;

3、提高学生数学来源于实践,反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。

重点、难点

1、重点:对圆点的轨迹的认识。

2、难点:对点的轨迹概念的认识,因为这个概念比较抽象。

教学活动设计(在老师与学生的交流对话中完成教学目标 )

(一)创设学习情境

1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念

(使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识)

观察:圆是到定点的距离等于定长的的点的集合;(电脑动画)

理解:圆上的点具有两个性质:

(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r);

(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上;(结合下图)

引出轨迹的概念:我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思:(1)图形是由符合条件的那些点组成的,就是说,图形上的任何一点都符合条件;(2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符合条件的任何一点都在图形上.(轨迹的概念非常抽象,是教学的难点,这里教师要精讲,细讲)

上面左图符合(1)但不符合(2);中图不符合(1)但符合(2);只有右图(1)(2)都符合.因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆.

轨迹1:“到定点距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆”。(研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键)

(二)类比、研究1

(在老师指导下,通过电脑动画,学生归纳、整理、概括、迁移,获得新知识)

轨迹2:和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;

轨迹3:到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线;

(三)巩固概念

练习:画图说明满足下列条件的点的轨迹:

(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹;

(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹;

(3)经过已知点A、B的圆O,圆心O的轨迹.

(A层学生独立画图,回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹;B、C层学生在老师的指导或带领下完成)

(四)类比、研究2

(这是第二次“类比”,目的:使学生的知识和能力螺旋上升.这次通过电脑动画,使A层学生自己做,进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力)

轨迹4:到直线l的距离等于定长d的点的轨迹,是平行于这条直线,并且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

轨迹5:到两条平行线的距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.

(五)巩固训练

练习题1:画图说明满足下面条件的点的轨迹:

1.到直线l的距离等于2cm的点的轨迹;

2.已知直线AB∥CD,到AB、CD距离相等的点的轨迹.

(A层学生独立画图探索;然后回答出点的轨迹是什么,对B、C层学生回答有一定的困难,这时教师要从规律上和方法上指导学生)

练习题2:判断题

1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹,是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线.( )

2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹,是到点B的距离等于5cm的圆.( )

3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹,是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线.( )

4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹,是底边a的垂直平分线.( )

(这组练习题的目的,训练学生思维的准确性和语言表达的正确性.题目由学生自主完成、交流、反思)

(教材的练习题、习题即可,因为这部分知识属于选学内容,而轨迹概念又比较抽象,不要对学生要求太高,了解就行、理解就高要求)

(六)理解、小结

(1)轨迹的定义两层意思;

(2)常见的五种轨迹。

(七)作业

教材P82习题2、6.

探究活动

爱尔特希问题

在平面上有四个点,任意三点都可以构成等腰三角形,你能找到这样的四点吗?

分析与解:开始自然是尝试、探索,主要应以如何构造出这样的点来考虑.最容易想到的是,使一个点到另三个点等距离,换句话说,以一个点为圆心,作一个圆,其他三个点在此圆上寻找,只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可,于是得到如图中的上面两种形式.

其次,取边长都相等的四边形,即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).

最后,取梯形ABCD,其中AB=BC=CD,且AD=BD=AC,但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上,只要将任一圆周5等分,取其中任意四点即可(见图中的第4个图).

综上所述,符合题意的四点有且仅有三种构形:①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心);②任意菱形的4个顶点;③任意正五边形的其中4个顶点.

上述问题是大数学家爱尔特希(P.Erdos)提出的:“在平面内有n个点,其中任意三点都能构成等腰三角形”中n=4的情形.

当n=3、4、5、6时,爱尔特希问题都有解.已经证明,时,问题无解.

初中圆的计算教案4

1、 圆的有关概念:

(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。

(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。②经过圆心的弦叫做直径。③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。⑥在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。⑦顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫圆周角。⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形,外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆外切三角形,三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

2、 圆的有关性质

(1)定理在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

(3)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

(4)切线的判定与性质:判定定理:经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。

(5)定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

(6)圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

(7)圆内接四边形对角互补,一个外角等于内对角;圆外切四边形对边和相等;

(8)弦切角定理:弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。

(9)和圆有关的比例线段:相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

(10)两圆相切,连心线过切点;两圆相交,连心线垂直平分公共弦。


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